पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन सूत्र (Surface Area & Volume) - Class 9 & 10

1. घन (Cube)

Class 9 & 10 NCERT

भुजा (Edge/Side) = a
6 वर्गाकार फलक (Equal Square Faces)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA)

4a²

चारों दीवारों का क्षेत्रफल

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)

6a²

सभी 6 सतहों का योग

आयतन (Volume)

a³

भुजा × भुजा × भुजा

विकर्ण (Diagonal)

a√3

सबसे लंबी छड़ की लंबाई

📖 हल किया हुआ उदाहरण (Solved Example) ▼

प्रश्न: एक घन की भुजा a = 5 cm है। इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA), कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) और आयतन (Volume) ज्ञात कीजिए।

1. दिया है: भुजा (a) = 5 cm

2. LSA: 4 × a² = 4 × (5)² = 4 × 25 = 100 cm²

3. TSA: 6 × a² = 6 × (5)² = 6 × 25 = 150 cm²

4. Volume: a³ = (5)³ = 5 × 5 × 5 = 125 cm³

उत्तर: LSA = 100 cm², TSA = 150 cm², Volume = 125 cm³

2. घनाभ (Cuboid)

Class 9 & 10 NCERT

l = लम्बाई (Length)
b = चौड़ाई (Breadth), h = ऊँचाई (Height)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA)

2h(l + b)

कमरे की 4 दीवारों का क्षेत्रफल

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)

2(lb + bh + hl)

सभी 6 आयताकार फलक

आयतन (Volume)

l × b × h

लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

विकर्ण (Diagonal)

√(l² + b² + h²)

कमरे में सबसे लंबा बाँस

📖 हल किया हुआ उदाहरण (Solved Example) ▼

प्रश्न: एक माचिस की डिब्बी की माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।

1. दिया है: l = 4 cm, b = 2.5 cm, h = 1.5 cm

2. आयतन (V): l × b × h = 4 × 2.5 × 1.5 = 15 cm³

3. TSA: 2(lb + bh + hl) = 2((4×2.5) + (2.5×1.5) + (1.5×4))

गणना: = 2(10 + 3.75 + 6) = 2(19.75) = 39.5 cm²

उत्तर: आयतन = 15 cm³, TSA = 39.5 cm²

3. लम्ब वृत्तीय बेलन (Cylinder)

Class 9 & 10 NCERT

r = आधार की त्रिज्या (Radius)
h = बेलन की ऊँचाई (Height)

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)

2πrh

मुड़ा हुआ वृत्ताकार पृष्ठ

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)

2πr(r + h)

CSA + 2 × आधार का क्षेत्रफल (2πr²)

आयतन (Volume)

πr²h

आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

खोखला बेलन (Hollow V)

π(R² - r²)h

R = बाह्य त्रिज्या, r = आंतरिक त्रिज्या

📖 हल किया हुआ उदाहरण (Solved Example) ▼

प्रश्न: एक 14 cm ऊँचे बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

1. दिया है: h = 14 cm, CSA = 88 cm²

2. सूत्र: 2πrh = 88

3. मान रखने पर: 2 × (22/7) × r × 14 = 88 ⇒ 2 × 22 × 2 × r = 88 ⇒ 88r = 88

4. त्रिज्या (r): r = 1 cm ⇒ व्यास (d) = 2r = 2 × 1 = 2 cm

उत्तर: आधार का व्यास = 2 cm (त्रिज्या = 1 cm)

4. लम्ब वृत्तीय शंकु (Cone)

Class 9 & 10 NCERT

r = त्रिज्या, h = ऊर्ध्वाधर ऊँचाई
l = तिर्यक ऊँचाई (Slant Height)

तिर्यक ऊँचाई (Slant Height, l)

l = √(r² + h²)

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)

πrl

तिर्यक सतह का क्षेत्रफल

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)

πr(l + r)

CSA + आधार वृत्त (πr²)

आयतन (Volume)

⅓ πr²h

समान बेलन के आयतन का एक तिहाई

📖 हल किया हुआ उदाहरण (Solved Example) ▼

प्रश्न: एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसकी तिर्यक ऊँचाई (l) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) ज्ञात कीजिए।

1. दिया है: r = 7 cm, h = 24 cm

2. तिर्यक ऊँचाई (l): √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 cm

3. CSA: πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 cm²

उत्तर: तिर्यक ऊँचाई (l) = 25 cm, CSA = 550 cm²

5. गोला (Sphere)

Class 9 & 10 NCERT

r = गोले की त्रिज्या (Radius)
नोट: गोले में CSA और TSA दोनों समान होते हैं।

पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)

4πr²

4 वृत्तों के क्षेत्रफल के बराबर

आयतन (Volume)

⁴⁄₃ πr³

गोले में भरी जा सकने वाली जगह

व्यास के पदों में (In terms of d)

SA = πd²

Volume = ⅙ πd³

📖 हल किया हुआ उदाहरण (Solved Example) ▼

प्रश्न: 7 cm त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।

1. दिया है: r = 7 cm

2. पृष्ठीय क्षेत्रफल: 4πr² = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616 cm²

3. आयतन: ⁴⁄₃ πr³ = ⁴⁄₃ × (22/7) × 7 × 7 × 7 = ⁴⁄₃ × 22 × 49 = ⁴312 / 3 ≈ 1437.33 cm³

उत्तर: क्षेत्रफल = 616 cm², आयतन ≈ 1437.33 cm³

6. अर्धगोला (Hemisphere)

Class 9 & 10 NCERT

r = अर्धगोले की त्रिज्या
ठोस अर्धगोले में 1 सपाट वृत्त + 1 वक्र पृष्ठ

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)

2πr²

कटोरी का बाहरी मुड़ा हुआ भाग

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)

3πr²

ठोस अर्धगोला = 2πr² + πr²

आयतन (Volume)

⅔ πr³

पूरे गोले के आयतन का आधा

📖 हल किया हुआ उदाहरण (Solved Example) ▼

प्रश्न: एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या r = 7 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए।

1. दिया है: r = 7 cm

2. CSA: 2πr² = 2 × (22/7) × 7 × 7 = 2 × 22 × 7 = 308 cm²

3. TSA: 3πr² = 3 × (22/7) × 7 × 7 = 3 × 22 × 7 = 462 cm²

उत्तर: CSA = 308 cm², TSA = 462 cm²

7. शंकु का छिन्नक (Frustum of a Cone)

Class 10 Special

r₁ = निचली बड़ी त्रिज्या, r₂ = ऊपरी छोटी त्रिज्या
h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई (जैसे पानी का गिलास / बाल्टी)

तिर्यक ऊँचाई (Slant Height, l)

l = √[h² + (r₁ - r₂)²]

छिन्नक की ढालू ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)

π(r₁ + r₂)l

चारों तरफ का वक्र भाग

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)

πl(r₁ + r₂) + πr₁² + πr₂²

CSA + दोनों वृत्ताकार आधार

आयतन (Volume)

⅓ πh (r₁² + r₂² + r₁r₂)

बाल्टी या गिलास की कुल धारिता

📖 हल किया हुआ उदाहरण (Solved Example) ▼

प्रश्न: पानी पीने वाले एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले शंकु के एक छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता (आयतन) ज्ञात कीजिए।

1. दिया है: h = 14 cm; त्रिज्याएँ r₁ = 4/2 = 2 cm, r₂ = 2/2 = 1 cm

2. सूत्र: V = ⅓ πh (r₁² + r₂² + r₁r₂)

3. मान रखने पर: V = ⅓ × (22/7) × 14 × (2² + 1² + 2×1)

4. गणना: = ⅓ × 22 × 2 × (4 + 1 + 2) = ⅓ × 44 × 7 = 308 / 3 = 102.67 cm³

उत्तर: गिलास की धारिता = 102.67 cm³ (या 102 ⅔ cm³)

त्वरित रिवीजन सारणी (Quick Formula Cheat-Sheet)

ठोस आकृति (Shape)	वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA / LSA)	कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)	आयतन (Volume)	मुख्य संबंध / विशेष
घन (Cube)	`4a²`	`6a²`	`a³`	विकर्ण = a√3
घनाभ (Cuboid)	`2h(l + b)`	`2(lb + bh + hl)`	`l × b × h`	विकर्ण = √(l² + b² + h²)
बेलन (Cylinder)	`2πrh`	`2πr(r + h)`	`πr²h`	आधार क्षेत्रफल = πr²
शंकु (Cone)	`πrl`	`πr(l + r)`	`⅓ πr²h`	l = √(r² + h²)
गोला (Sphere)	`4πr²`	`4πr²`	`⁴⁄₃ πr³`	CSA = TSA
अर्धगोला (Hemisphere)	`2πr²`	`3πr²`	`⅔ πr³`	ठोस में सपाट वृत्त शामिल
शंकु का छिन्नक (Frustum)	`π(r₁ + r₂)l`	`πl(r₁ + r₂) + πr₁² + πr₂²`	`⅓ πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)`	l = √[h² + (r₁ - r₂)²]

⚡ सूत्र कैलकुलेटर (Interactive Calculator)

किसी भी ठोस आकृति को चुनें और माप भरकर तुरंत CSA, TSA व आयतन की गणना देखें।

आकृति चुनें:

त्रिज्या (r) in cm:

ऊँचाई (h) in cm:

चौड़ाई (b) in cm:

CSA / LSA

0 cm²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)

0 cm²

आयतन (Volume)

0 cm³

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण टिप्स (Exam Important Tips):

इकाइयों (Units) का ध्यान रखें: यदि एक भुजा मीटर (m) में और दूसरी सेंटीमीटर (cm) में हो, तो पहले दोनों को एक समान इकाई में बदलें। (1 m = 100 cm, 1 m³ = 1000 Litres, 1 Litre = 1000 cm³)।
π का मान: जब तक प्रश्न में स्पष्ट रूप से π = 3.14 न दिया गया हो, तब तक π = 22/7 का ही उपयोग करें।
क्षेत्रफल vs आयतन: क्षेत्रफल की इकाई हमेशा वर्ग इकाई (cm², m²) और आयतन की इकाई हमेशा घन इकाई (cm³, m³) होती है।
खोखली वस्तुएँ या बाल्टी: यदि ऊपर से खुला बेलन या बाल्टी हो तो वक्र क्षेत्रफल + केवल 1 आधार वृत्त का क्षेत्रफल जोड़ा जाता है।

ज्ञान घर (Gyan Ghar)

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र (Class 9 & 10)

त्वरित रिवीजन सारणी (Quick Formula Cheat-Sheet)

⚡ सूत्र कैलकुलेटर (Interactive Calculator)

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण टिप्स (Exam Important Tips):